Microsoft Research研究人员与合作者证明31年未解的KLS猜想

Microsoft 研究人员与合作者将新的数学思想与人类引导的 AI 相结合，解决了高维几何与概率中的一个核心问题

概览

• 基础科学突破：研究人员解决了 Kannan-Lovász-Simonovits（KLS）猜想。这一存在31年的问题被广泛视为高维几何领域的核心未解问题之一，其影响涉及统计学、优化、算法和计算机科学。
• 普适几何原理：这一成果为对数凹分布确立了一项普适几何原理，表明简单的平直切割能够在一个固定因子范围内捕捉其最狭窄的瓶颈，不受维数影响。 
• 人类与 AI 协作：这项突破源于一个由人类引导的智能体研究流程：AI 系统探索数学上的可能性，研究人员则评估、筛选并引导搜索方向。
• 独立验证：多位独立研究人员已验证这项研究，确认其核心判据是关键突破；随后，研究还通过了机器检查的形式化验证。 

几十年来，一个关于在高维空间中计算难度的基本问题始终未能得到证明。新的研究解决了这一问题，消除了理解科学和计算领域所用随机算法效率的一大理论障碍。

Kannan–Lovász–Simonovits（KLS）猜想于1995年提出。它探讨的是：对于一大类高维概率分布，最佳平直切割或超平面切割的效果是否总是与任意形状的最佳切割几乎一样好。更准确地说，KLS 猜想认为，两者的差距不超过一个普适常数，与维数多少无关。这将确立一项与维数无关的几何原理，并对高维几何、概率论和理论计算机科学产生重要影响。由于这些切割的几何性质决定了随机游走能够多快地探索一个分布，KLS 在高维采样理论中也发挥着核心作用。

自1995年以来，数学家们不断积累证据，表明这一猜想是成立的，但始终未能找到完整证明。如今，包括 Microsoft Research 机器学习与优化小组的 Xinzhi Zhang 在内的两位研究人员已经证明了 KLS 猜想（在新选项卡中打开）。他们证明，无论形状有多少维，这种关系都成立，且具有固定的界。在这项研究之前，已知的最佳结果（在新选项卡中打开）于2026年7月确立，其界限会随着维数增加而缓慢增大。这项研究确立了一项基础几何原理：高维空间的性质比以往所知的更好，且随着维数增加，探索这些空间的障碍不会无限增大。 

KLS 猜想的重要性早已在整个领域得到认可，远在它被解决之前。在其 2017-18 年度报告中，数学科学研究所 (MSRI)（在新标签页中打开）称其为“高维凸几何中的核心未决问题”。西蒙斯研究所（在新标签页中打开）称其为“凸几何中最重要的未决问题之一”。在2022 年国际数学家大会 (ICM) 论文集（在新标签页中打开）中，Ronen Eldan 指出，该猜想对高维凸几何和计算几何具有广泛影响。《Quanta Magazine》（在新标签页中打开）写道，KLS“处于统计学和计算机科学诸多问题的核心”。

技术细节

作者首先改进了 2026 年 7 月的结果，以使数学界限更加精确。在结构化、由人类指导的流程中与 AI 智能体合作，他们探索了 100 多种候选方法，其中许多涉及高阶张量的冗长计算。这带来了一项新的数学判据，成为最终证明的基础。

随后，作者发现可以递归地应用这一新判据。每一个改进后的界限都可以反馈到同一论证中，从而得到更紧的界限。在论文 2026 年 10 月 1 日的版本中，这将对维数的依赖降低到了迭代对数。这个函数的增长极其缓慢，但仍会随维数增长，因此当时还未完全解决该猜想。

最后一步是重复整个递归改进过程，而非只应用一次。这一想法受到作者早先关于线性规划快速算法的工作的启发。作者证明，每个阶段引入的小误差收敛得足够快，因此误差总和始终有一个与维数无关的通用常数上界。这消除了对维数的依赖，并在论文 2026 年 10 月 4 日的版本中完成了证明。

递归方法、对其的反复应用，以及证明累积误差有界，都是研究人员的原创贡献。AI 工具帮助探索候选方法、完成详细推导、准备论文稿件，并进行内部证明检查。研究人员确定了数学方向，选出有前景的想法，将它们整合到最终论证中，并验证了证明。

独立验证

作者发布完整证明的同一天，另一组顶尖专家也发布了完整证明（在新标签页中打开），这是他们并行完成的工作。他们的研究建立在 Microsoft 论文第一版（在新标签页中打开）中的发现之上，并称其为“证明中的关键一步”。同一天另行发表的第三个证明（在新标签页中打开）也依赖于一个密切相关的想法。此外，后来还发布了Lean 4 形式化版本（在新标签页中打开），将 Microsoft 论文第一版中的关键判据与后续研究相结合。 

独立证明是数学中最有力的验证形式之一，因为它们表明一个结果并非依赖单一的推理链条。随后出现的其他方法和形式化验证进一步增强了人们的信心，表明该领域发现的是一个真实的底层原理，而非脆弱的技术性论证。作者还缩短了证明，并在 Lean 中验证了精简后的论证；他们计划在最终审查后发布这两项内容。这些进展共同提供了相辅相成的确认方式。

人机协同指导

在证明 KLS 的过程中，这项研究还展示了研究人员指导 AI 的力量，而不是仅仅要求 AI 通过一次前沿模型或智能体的端到端运行来解决复杂问题。作者采用了智能体搜索流程，并通过迭代、由人类辅助的“剪枝”来推进：多个智能体并行探索某个想法的不同变体时，研究人员会检查它们的中间结果，排除没有前景的方向，并将最有希望的结果传递到下一轮。在关键突破出现之前，他们探索了大约一百条研究路线。 

在项目的另一条独立研究线上，作者使用几个领先的 AI 模型，多次尝试在无人指导的情况下解决同一问题，所用的总 token 预算与主要流程大致相同。但这项努力未能达到目标。最终的成功既依赖 AI 系统的能力，也依赖研究人员的数学判断力。 

结论

总而言之，解决 KLS 疑题，意味着解决了高维几何中的一个核心问题。此前一系列依赖该猜想作为假设的结果，如今都可以无条件地表述。因此，这一证明为凸几何、概率论和理论计算机科学的研究提供了更坚实的基础。

这项工作还表明，经过审慎指导的人机协作能够推动真正的科学发现，同时强化而非取代人类洞见。它凸显了科学判断力的重要性：识别有希望的方向、发现概念之间的联系，并看出某个初步洞见何时指向更深层的结果。作者目前正在简化证明并扩展其形式化验证，以便数学和理论计算机科学领域的研究者更容易审视这一结果并在此基础上开展工作。

致谢 

感谢合著者 Zhao Song 对这项工作的贡献，也感谢 Victor Reis（在新标签页中打开） 和 Ishai Menache 在整个项目期间提供的宝贵讨论。 

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该文章 解决数学领域一项历时 31 年的重大挑战——KLS 猜想 最初发表于 Microsoft Research。